関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分法（チェーンルール）を使います。

まず、 $u = \sin(3x + \frac{\pi}{5})$ とおくと、 $y = u^2$ となります。

従って、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2\sin(3x + \frac{\pi}{5})$

次に、$v = 3x + \frac{\pi}{5}$ とおくと、$u = \sin v$ となります。

従って、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ となります。

$\frac{du}{dv} = \cos v = \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{dv}{dx} = 3$

よって、$\frac{du}{dx} = \cos(3x + \frac{\pi}{5}) \cdot 3 = 3\cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2\sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cdot 3\cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 6\sin(3x + \frac{\pi}{5})\cos(3x + \frac{\pi}{5})$

ここで、三角関数の2倍角の公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2\sin(3x + \frac{\pi}{5})\cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 3\sin(2(3x + \frac{\pi}{5})) = 3\sin(6x + \frac{2\pi}{5})$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3\sin(6x + \frac{2\pi}{5})$