関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ を微分した $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ を微分した $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x$、$v = \tan x$ とすると、

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot \tan x - x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\tan^2 x} = \frac{\tan x - \frac{x}{\cos^2 x}}{\tan^2 x}$

ここで、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$y' = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\frac{\sin x \cos x - x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}$

選択肢の3が正解です。