関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

ここで、$u = (x^2 + 1)$ と $v = 5^{x^3}$ とおくと、

$u' = 2x$

$v' = 5^{x^3} \cdot \ln 5 \cdot 3x^2$

したがって、$y'$ は

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 5^{x^3} \cdot \ln 5 \cdot 3x^2$

$y' = 5^{x^3} [2x + 3x^2(x^2+1)\ln 5]$

$y' = 5^{x^3} x[2 + 3x(x^2+1)\ln 5]$

選択肢にある式と合わせるため、$x$を括弧の中に入れると、

$y' = x5^{x^3}[2 + 3x(x^2 + 1) \log 5]$

これは選択肢3と一致しません．計算を見直します。

$y' = 2x 5^{x^3} + (x^2 + 1) 5^{x^3} \cdot 3x^2 \ln 5 = 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2+1)\ln 5) = 5^{x^3}x(2+3x(x^2+1) \ln 5)$

$5^{x^3}$で括ると

$y' = 5^{x^3}\{2x + 3x^2(x^2+1)\ln 5\}$

選択肢の中では４番が近いです。

しかし問題文と選択肢が正確に一致しないため、一旦問題文の誤りも考慮して計算してみます。

もし問題が $y=(x^2+1)5^{x}$の場合、 $v=5^{x}$, $v' = 5^x \ln 5$

$y' = 2x5^{x} + (x^2+1) 5^x \ln 5= 5^x (2x+(x^2+1) \ln 5)$

3. 最終的な答え

選択肢の中で最も近いのは選択肢4です。ただし、元の関数の導関数を計算すると、

$y'=5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2+1)\ln 5)$.

なので、選択肢には正しい答えがないと考えられます。

選択肢4: $y' = 5^{x^3} \{2x + (x^2 + 1) \log 5\}$は $y=(x^2+1)5^{x}$の導関数に近い形をしています。