$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

* $y = e^{2x}$

* $y' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

* $y'' = \frac{d}{dx} (2e^{2x}) = 2 \cdot 2e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

* $y''' = \frac{d}{dx} (2^2 e^{2x}) = 2^2 \cdot 2e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

これらの結果から、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$ であると推測できます。

厳密には、数学的帰納法を使って証明できますが、ここでは省略します。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

選択肢４が正解です。