$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x}$ の1次導関数、2次導関数、3次導関数を計算して、規則性を見つけます。

* 1次導関数: $y' = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x} = (-1)^1 e^{-x}$

* 2次導関数: $y'' = \frac{d}{dx} (-e^{-x}) = e^{-x} = (-1)^2 e^{-x}$

* 3次導関数: $y''' = \frac{d}{dx} (e^{-x}) = -e^{-x} = (-1)^3 e^{-x}$

これらの結果から、$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ であると推測できます。数学的帰納法で厳密に証明することも可能ですが、ここでは推測を元に答えを選びます。

3. 最終的な答え

選択肢の中から、$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ に一致するものを選ぶと、3番の選択肢が該当します。

したがって、答えは3です。