関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

$y$ を微分するために、商の微分公式を使います。

商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

この問題では、$u = e^x - e^{-x}$、 $v = e^x + e^{-x}$ です。

まず、$u$ と $v$ を微分します。

$u' = (e^x - e^{-x})' = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$v' = (e^x + e^{-x})' = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$y' = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

ここで、$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ と $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使って展開します。

$y' = \frac{(e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$y' = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$y' = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

選択肢 4 が正解です。