$n$を自然数とするとき、$y = \cos x$ の第$2n$次導関数 $y^{(2n)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、$y = \cos x$ の第$2n$次導関数 $y^{(2n)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = \cos x$ の導関数を繰り返し計算し、規則性を見つけます。

* $y' = -\sin x$

* $y'' = -\cos x$

* $y''' = \sin x$

* $y^{(4)} = \cos x$

4階微分するごとに元の関数 $\cos x$ に戻ります。したがって、$y^{(4)} = y = \cos x$。

$2n$次導関数は、4で割った余りで分類できます。

$2n = 4k$（$k$は整数）のとき、$y^{(2n)} = y^{(4k)} = \cos x$。

$2n = 4k + 2$（$k$は整数）のとき、$y^{(2n)} = y^{(4k+2)} = y'' = -\cos x$。

$n$ が偶数のとき $n=2k$とすると $2n=4k$ よって $y^{(2n)} = \cos x = (-1)^n \cos x$

$n$ が奇数のとき $n=2k+1$とすると $2n=4k+2$ よって $y^{(2n)} = -\cos x = (-1)^n \cos x$

したがって、$y^{(2n)} = (-1)^n \cos x$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$y^{(2n)} = (-1)^n \cos x$

選択肢３が正解。