ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (1, 5, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (1, 5, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算します。外積 $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルになります。

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-4) - (3)(5) \\ (3)(1) - (2)(-4) \\ (2)(5) - (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 15 \\ 3 + 8 \\ 10 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix}$

(2) ベクトル $\vec{c}$ の大きさを計算します。

$|\vec{c}| = \sqrt{(-11)^2 + (11)^2 + (11)^2} = \sqrt{121 + 121 + 121} = \sqrt{363} = 11\sqrt{3}$

(3) $\vec{c}$ をその大きさで割って、単位ベクトル $\vec{u}$ を求めます。単位ベクトルは、大きさが1のベクトルです。

$\vec{u} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{11\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -11 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(4) $\vec{u}$ の向きの反対側の単位ベクトルも、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直です。つまり $-\vec{u}$ も解になります。

$-\vec{u} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$ 、$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$

または、

$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$ 、$\begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$