円の中心をOとする。円周上の点A, B, Cに対して、$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$である。$\angle AOB = \theta$を求めよ。

1. 問題の内容

円の中心をOとする。円周上の点A, B, Cに対して、$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$である。$\angle AOB = \theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AOB$は円周角$\angle ACB$に対する中心角なので、中心角の定理より、$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$が成り立つ。

したがって、$\angle AOB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$となる。

また、三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = 20^\circ$である。

三角形の内角の和は180°なので、$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$となる。

したがって、$\angle AOB = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$となるはずだが、最初に求めた値と矛盾する。

円周角の定理を考えると、$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$である。

3. 最終的な答え

$\theta = 70^\circ$