(1) $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$ を計算する。 (2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

1. 問題の内容

(1) $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$ を計算する。

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

(1) $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$ を計算する。

$1+\sqrt{2}=A$ とおくと、与式は

$(A+\sqrt{3})(A-\sqrt{3}) = A^2 - (\sqrt{3})^2 = A^2 - 3$

ここで、$A = 1+\sqrt{2}$ を代入すると、

$A^2 - 3 = (1+\sqrt{2})^2 - 3 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 0 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

まず、分母と分子に $1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ を掛けると

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

次に、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けると

$\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}$

(2) $\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$