$2(ab + bc + ca) = abc$ かつ $a+b+c=2$ のとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2であることを示せ。

1. 問題の内容

$2(ab + bc + ca) = abc$ かつ $a+b+c=2$ のとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2であることを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c=2$ より、$c = 2 - a - b$ である。

この式を$2(ab + bc + ca) = abc$に代入する。

$2(ab + b(2-a-b) + a(2-a-b)) = ab(2-a-b)$

$2(ab + 2b - ab - b^2 + 2a - a^2 - ab) = 2ab - a^2b - ab^2$

$2(2a+2b - a^2 - b^2 - ab) = 2ab - a^2b - ab^2$

$4a + 4b - 2a^2 - 2b^2 - 2ab = 2ab - a^2b - ab^2$

$4a + 4b - 2a^2 - 2b^2 - 4ab + a^2b + ab^2 = 0$

$a^2b - 2a^2 + ab^2 - 4ab + 4a - 2b^2 + 4b = 0$

$a^2b - 2a^2 + ab^2 - 4ab + 4a - 2b^2 + 4b = 0$

$a^2(b-2) + a(b^2 - 4b + 4) - 2(b^2-2b) = 0$

$a^2(b-2) + a(b-2)^2 - 2b(b-2) = 0$

$(b-2)(a^2 + a(b-2) - 2b) = 0$

$(b-2)(a^2 + ab - 2a - 2b) = 0$

$(b-2)(a(a+b) - 2(a+b)) = 0$

$(b-2)(a-2)(a+b) = 0$

したがって、$b-2=0$ または $a-2=0$ または $a+b=0$。

もし $b=2$ なら、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2である。

もし $a=2$ なら、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2である。

もし $a+b=0$ なら、$b=-a$。このとき $a+b+c=2$ より $c=2-a-b = 2-a-(-a)=2$。したがって、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2である。

いずれの場合も、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2である。

3. 最終的な答え

$a, b, c$ のうち少なくとも1つは2である。