姉と妹がおはじきを持っています。姉が妹におはじきを12個渡すと、姉と妹が持っているおはじきの個数の比は10:11となります。また、姉が妹からおはじきを9個もらうと、姉と妹が持っているおはじきの個数の比は9:5となります。姉と妹がはじめに持っているおはじきの個数をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

姉と妹がおはじきを持っています。姉が妹におはじきを12個渡すと、姉と妹が持っているおはじきの個数の比は10:11となります。また、姉が妹からおはじきを9個もらうと、姉と妹が持っているおはじきの個数の比は9:5となります。姉と妹がはじめに持っているおはじきの個数をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

姉がはじめに持っているおはじきの個数を $x$ 個、妹がはじめに持っているおはじきの個数を $y$ 個とします。

1つ目の条件から、姉が妹に12個渡すと、姉は $x-12$ 個、妹は $y+12$ 個になり、その比が10:11なので、

$\frac{x-12}{y+12} = \frac{10}{11}$

これを整理すると、

$11(x-12) = 10(y+12)$

$11x - 132 = 10y + 120$

$11x - 10y = 252$ (1)

2つ目の条件から、姉が妹から9個もらうと、姉は $x+9$ 個、妹は $y-9$ 個になり、その比が9:5なので、

$\frac{x+9}{y-9} = \frac{9}{5}$

これを整理すると、

$5(x+9) = 9(y-9)$

$5x + 45 = 9y - 81$

$5x - 9y = -126$ (2)

(1)式と(2)式を連立方程式として解きます。

(1)式を5倍、(2)式を11倍すると、

$55x - 50y = 1260$

$55x - 99y = -1386$

上の式から下の式を引くと、

$49y = 2646$

$y = \frac{2646}{49} = 54$

$y = 54$ を(1)式に代入すると、

$11x - 10(54) = 252$

$11x - 540 = 252$

$11x = 792$

$x = \frac{792}{11} = 72$

したがって、姉がはじめに持っていたおはじきの個数は72個、妹がはじめに持っていたおはじきの個数は54個です。

3. 最終的な答え

姉: 72個、妹: 54個