$z = f(x, y)$ であり、$x = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$、$y = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$ のとき、$z_u$、$z_v$ を $z_x$、$z_y$ で表し、またヤコビアン $x_u y_v - x_v y_u$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$z = f(x, y)$ であり、$x = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$、$y = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$ のとき、$z_u$、$z_v$ を $z_x$、$z_y$ で表し、またヤコビアン $x_u y_v - x_v y_u$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $z_u$ と $z_v$ を $z_x$ と $z_y$ で表す。

まず、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で偏微分します。

$x_u = \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$

$x_v = \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$

$y_u = \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$

$y_v = \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$

ここで、$z = f(x, y)$ であるので、連鎖律より

$z_u = z_x x_u + z_y y_u$

$z_v = z_x x_v + z_y y_v$

これらの式に、$x_u, x_v, y_u, y_v$ の値を代入すると、

$z_u = z_x \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v}) + z_y \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$

$z_v = z_x \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v}) + z_y \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$

ここで、$x = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$、$y = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$ なので、

$z_u = x z_x + y z_y$

$z_v = y z_x + x z_y$

よって、(11) は $x$, (12) は $y$, (13) は $y$, (14) は $x$ となります。

(2) ヤコビアン $x_u y_v - x_v y_u$ を求める。

$x_u y_v - x_v y_u = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v}) \cdot \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v}) - \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v}) \cdot \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$

$= \frac{1}{4}[(e^{u+v} + e^{u-v})^2 - (e^{u+v} - e^{u-v})^2]$

$= \frac{1}{4} [(e^{2u+2v} + 2e^{2u} + e^{2u-2v}) - (e^{2u+2v} - 2e^{2u} + e^{2u-2v})]$

$= \frac{1}{4} [4e^{2u}]$

$= e^{2u}$

よって、(15) は $e^{2u}$ となります。

3. 最終的な答え

(11): $x$

(12): $y$

(13): $y$

(14): $x$

(15): $e^{2u}$