$z = f(x, y)$ であり、$u = x + y$, $v = x - y$ のとき、$z_u$ と $z_v$ を $f_x$ と $f_y$ を用いて表す問題です。ここで、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$, $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$, $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$, $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ を意味します。

1. 問題の内容

$z = f(x, y)$ であり、$u = x + y$, $v = x - y$ のとき、$z_u$ と $z_v$ を $f_x$ と $f_y$ を用いて表す問題です。ここで、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$, $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$, $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$, $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ を意味します。

2. 解き方の手順

まず、連鎖律を用いて、$z_u$ と $z_v$ を $f_x$, $f_y$, $x_u$, $x_v$, $y_u$, $y_v$ で表します。

$$z_u = \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = f_x x_u + f_y y_u$$

$$z_v = \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = f_x x_v + f_y y_v$$

次に、$u = x + y$ と $v = x - y$ を $x$ と $y$ について解きます。

$u + v = (x + y) + (x - y) = 2x$ より、$x = \frac{u + v}{2}$

$u - v = (x + y) - (x - y) = 2y$ より、$y = \frac{u - v}{2}$

したがって、

$x = \frac{u + v}{2}$, $y = \frac{u - v}{2}$ となります。

これらの式から、$x_u$, $x_v$, $y_u$, $y_v$ を計算します。

$x_u = \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2}$

$x_v = \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2}$

$y_u = \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2}$

$y_v = \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{1}{2}$

これらの値を、$z_u$ と $z_v$ の式に代入します。

$$z_u = f_x (\frac{1}{2}) + f_y (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}f_x + \frac{1}{2}f_y = \frac{1}{2}(f_x + f_y)$$

$$z_v = f_x (\frac{1}{2}) + f_y (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}f_x - \frac{1}{2}f_y = \frac{1}{2}(f_x - f_y)$$

3. 最終的な答え

$z_u = \frac{1}{2}(f_x + f_y)$

$z_v = \frac{1}{2}(f_x - f_y)$