$x = u \cos\alpha - v \sin\alpha$, $y = u \sin\alpha + v \cos\alpha$ ($\alpha$は定数)のとき、$z = f(x, y)$に対して、次の等式を示す問題です。 $$z_x^2 + z_y^2 = z_u^2 + z_v^2$$ ここで、$z_x$は$z$の$x$に関する偏微分を表し、$z_y$は$z$の$y$に関する偏微分を、$z_u$は$z$の$u$に関する偏微分を、$z_v$は$z$の$v$に関する偏微分を表します。

1. 問題の内容

$x = u \cos\alpha - v \sin\alpha$, $y = u \sin\alpha + v \cos\alpha$ ($\alpha$は定数)のとき、$z = f(x, y)$に対して、次の等式を示す問題です。

$$z_x^2 + z_y^2 = z_u^2 + z_v^2$$

ここで、$z_x$は$z$の$x$に関する偏微分を表し、$z_y$は$z$の$y$に関する偏微分を、$z_u$は$z$の$u$に関する偏微分を、$z_v$は$z$の$v$に関する偏微分を表します。

2. 解き方の手順

まず、$z_u$と$z_v$を$z_x$と$z_y$を用いて表します。連鎖律を使用します。

$$z_u = \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = z_x \cos\alpha + z_y \sin\alpha$$

$$z_v = \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = z_x (-\sin\alpha) + z_y \cos\alpha$$

次に、$z_u^2$と$z_v^2$を計算します。

$$z_u^2 = (z_x \cos\alpha + z_y \sin\alpha)^2 = z_x^2 \cos^2\alpha + 2 z_x z_y \cos\alpha \sin\alpha + z_y^2 \sin^2\alpha$$

$$z_v^2 = (-z_x \sin\alpha + z_y \cos\alpha)^2 = z_x^2 \sin^2\alpha - 2 z_x z_y \sin\alpha \cos\alpha + z_y^2 \cos^2\alpha$$

$z_u^2 + z_v^2$を計算します。

$$z_u^2 + z_v^2 = z_x^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + z_y^2 (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2z_x z_y (\cos\alpha \sin\alpha - \sin\alpha \cos\alpha)$$

三角関数の恒等式$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$と$\cos\alpha \sin\alpha - \sin\alpha \cos\alpha = 0$を使うと、

$$z_u^2 + z_v^2 = z_x^2 + z_y^2$$

が得られます。

3. 最終的な答え

$$z_x^2 + z_y^2 = z_u^2 + z_v^2$$