与えられた変数変換について、ヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ を求める問題です。 具体的には、以下の3つの変換についてヤコビアンを計算します。 (1) $x = au + bv$, $y = cu + dv$ (2) $x = u + v$, $y = uv$ (3) $x = uv$, $y = u^2 - v^2$

1. 問題の内容

与えられた変数変換について、ヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ を求める問題です。 具体的には、以下の3つの変換についてヤコビアンを計算します。

(1) $x = au + bv$, $y = cu + dv$

(2) $x = u + v$, $y = uv$

(3) $x = uv$, $y = u^2 - v^2$

2. 解き方の手順

ヤコビアンは以下の式で定義されます。

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$

各変換について、偏微分を計算し、ヤコビアンを求めます。

(1) $x = au + bv$, $y = cu + dv$ の場合

$\frac{\partial x}{\partial u} = a$, $\frac{\partial x}{\partial v} = b$

$\frac{\partial y}{\partial u} = c$, $\frac{\partial y}{\partial v} = d$

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = ad - bc$

(2) $x = u + v$, $y = uv$ の場合

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$, $\frac{\partial x}{\partial v} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial u} = v$, $\frac{\partial y}{\partial v} = u$

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = u - v$

(3) $x = uv$, $y = u^2 - v^2$ の場合

$\frac{\partial x}{\partial u} = v$, $\frac{\partial x}{\partial v} = u$

$\frac{\partial y}{\partial u} = 2u$, $\frac{\partial y}{\partial v} = -2v$

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = -2v^2 - 2u^2 = -2(u^2 + v^2)$

3. 最終的な答え

(1) $ad - bc$

(2) $u - v$

(3) $-2(u^2 + v^2)$