問題3は、ラプラシアン $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ を与えられた関数に作用させる問題です。 (1) $z = \log(x^2 + y^2)$ (2) $z = \frac{x}{x^2 + y^2}$

1. 問題の内容

問題3は、ラプラシアン $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ を与えられた関数に作用させる問題です。

(1) $z = \log(x^2 + y^2)$

(2) $z = \frac{x}{x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1) $z = \log(x^2 + y^2)$ の場合

まず、$z$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

次に、$z$ を $x$ で二階偏微分します。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

同様に、$z$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

次に、$z$ を $y$ で二階偏微分します。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

ラプラシアンを計算します。

$\Delta z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

(2) $z = \frac{x}{x^2 + y^2}$ の場合

まず、$z$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

次に、$z$ を $x$ で二階偏微分します。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{-2x(x^2 + y^2)^2 - (y^2 - x^2)2(x^2 + y^2)(2x)}{(x^2 + y^2)^4} = \frac{-2x(x^2+y^2) - 4x(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3} = \frac{2x^3 - 6xy^2}{(x^2 + y^2)^3}$

同様に、$z$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

次に、$z$ を $y$ で二階偏微分します。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{-2x(x^2 + y^2)^2 - (-2xy)2(x^2 + y^2)(2y)}{(x^2 + y^2)^4} = \frac{-2x(x^2+y^2) + 8xy^2}{(x^2+y^2)^3} = \frac{-2x^3 + 6xy^2}{(x^2 + y^2)^3}$

ラプラシアンを計算します。

$\Delta z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2x^3 - 6xy^2}{(x^2 + y^2)^3} + \frac{-2x^3 + 6xy^2}{(x^2 + y^2)^3} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta z = 0$

(2) $\Delta z = 0$