与えられた2つのデータセット(1)と(2)について、それぞれ変数 $x$ と $y$ の相関係数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つのデータセット(1)と(2)について、それぞれ変数 $x$ と $y$ の相関係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は、次の式で計算できます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$

ここで、$S_{xy}$ は $x$ と $y$ の共分散、$S_{xx}$ と $S_{yy}$ はそれぞれ $x$ と $y$ の分散の偏差平方和です。これらの値は、以下の式で求められます。

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}$

$S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2$

$S_{yy} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - n \bar{y}^2$

ただし、$n$ はデータの個数、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれ $x$ と $y$ の平均です。

(1)の場合：

$x$ のデータ：-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

$y$ のデータ：9, 4, 1, 0, 1, 4, 9

$n = 7$

$\bar{x} = \frac{-3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{7} = 0$

$\bar{y} = \frac{9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{7} = \frac{28}{7} = 4$

$\sum x_i y_i = (-3)(9) + (-2)(4) + (-1)(1) + (0)(0) + (1)(1) + (2)(4) + (3)(9) = -27 - 8 - 1 + 0 + 1 + 8 + 27 = 0$

$S_{xy} = \sum x_i y_i - n \bar{x} \bar{y} = 0 - 7(0)(4) = 0$

$\sum x_i^2 = (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28$

$S_{xx} = \sum x_i^2 - n \bar{x}^2 = 28 - 7(0)^2 = 28$

$\sum y_i^2 = 9^2 + 4^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 + 4^2 + 9^2 = 81 + 16 + 1 + 0 + 1 + 16 + 81 = 196$

$S_{yy} = \sum y_i^2 - n \bar{y}^2 = 196 - 7(4)^2 = 196 - 112 = 84$

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \frac{0}{\sqrt{28 \cdot 84}} = 0$

(2)の場合：

$x$ のデータ：-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

$y$ のデータ：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

$n = 7$

$\bar{x} = \frac{-3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{7} = 0$

$\bar{y} = \frac{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{7} = \frac{21}{7} = 3$

$\sum x_i y_i = (-3)(0) + (-2)(1) + (-1)(2) + (0)(3) + (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 0 - 2 - 2 + 0 + 4 + 10 + 18 = 28$

$S_{xy} = \sum x_i y_i - n \bar{x} \bar{y} = 28 - 7(0)(3) = 28$

$\sum x_i^2 = (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28$

$S_{xx} = \sum x_i^2 - n \bar{x}^2 = 28 - 7(0)^2 = 28$

$\sum y_i^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$

$S_{yy} = \sum y_i^2 - n \bar{y}^2 = 91 - 7(3)^2 = 91 - 63 = 28$

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \frac{28}{\sqrt{28 \cdot 28}} = \frac{28}{28} = 1$

3. 最終的な答え

(1) の相関係数: 0

(2) の相関係数: 1