与えられた不定積分 $\int \frac{x^6 + 1}{x^3 + 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{x^6 + 1}{x^3 + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を因数分解します。

$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3$ と見ると、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いて、

$x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$と因数分解できます。

次に、分母も因数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$ と因数分解できます。

ここで、$x^6 + 1 = (x^3)^2 + 1$ であり、$x^3 + 1$ の形にしたいので、

$x^6 + 1 = (x^3 + 1)^2 - 2x^3 = (x^3+1)^2-2x^3$とします。

よって、

$\frac{x^6 + 1}{x^3 + 1} = \frac{(x^3 + 1)^2 - 2x^3}{x^3 + 1} = \frac{(x^3 + 1)^2}{x^3 + 1} - \frac{2x^3}{x^3 + 1} = x^3 + 1 - \frac{2x^3}{x^3 + 1}$ と変形できます。

さらに、$2x^3 = 2(x^3 + 1) - 2$より、

$\frac{2x^3}{x^3 + 1} = \frac{2(x^3 + 1) - 2}{x^3 + 1} = 2 - \frac{2}{x^3 + 1}$ となるので、

$\frac{x^6 + 1}{x^3 + 1} = x^3 + 1 - (2 - \frac{2}{x^3 + 1}) = x^3 - 1 + \frac{2}{x^3 + 1}$ と変形できます。

次に、$\frac{2}{x^3 + 1}$ を部分分数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$ より、

$\frac{2}{x^3 + 1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ とおきます。

$2 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1) = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

したがって、$A+B = 0$, $-A+B+C = 0$, $A+C = 2$ が得られます。

$B = -A$, $-A-A+C = 0$, $C = 2A$, $A+2A = 2$, $A = \frac{2}{3}$, $B = -\frac{2}{3}$, $C = \frac{4}{3}$

よって、$\frac{2}{x^3 + 1} = \frac{2/3}{x+1} + \frac{(-2/3)x + 4/3}{x^2-x+1} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$ となります。

したがって、積分は、

$\int \frac{x^6 + 1}{x^3 + 1} dx = \int \left(x^3 - 1 + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right) \right) dx$

$= \frac{x^4}{4} - x + \frac{2}{3} \left( \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx \right)$

ここで、$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$

また、$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-4}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1-3}{x^2-x+1} dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2}) = -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$

$\int \frac{x^6 + 1}{x^3 + 1} dx = \frac{x^4}{4} - x + \frac{2}{3} \left( \ln|x+1| - \frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) \right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^4}{4} - x + \frac{2}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x^2-x+1| + \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$