与えられた10個の不定積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた10個の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\int xe^x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

(2) $\int x \sin x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(3) $\int (x+1) \cos x dx$

部分積分を行います。$u = x+1$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int (x+1) \cos x dx = (x+1) \sin x - \int \sin x dx = (x+1) \sin x + \cos x + C$

(4) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

置換積分を行います。$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ となります。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{u^2} du = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C$

(5) $\int (x^2 - 3x)e^x dx$

部分積分を2回行います。

まず、$u = x^2 - 3x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = (2x - 3) dx$, $v = e^x$ となります。

$\int (x^2 - 3x)e^x dx = (x^2 - 3x)e^x - \int (2x - 3)e^x dx$

次に、$u = 2x - 3$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = e^x$ となります。

$\int (2x - 3)e^x dx = (2x - 3)e^x - \int 2e^x dx = (2x - 3)e^x - 2e^x + C$

よって、

$\int (x^2 - 3x)e^x dx = (x^2 - 3x)e^x - ((2x - 3)e^x - 2e^x) + C = (x^2 - 3x - 2x + 3 + 2)e^x + C = (x^2 - 5x + 5)e^x + C$

(6) $\int \log(x+2) dx$

部分積分を行います。$u = \log(x+2)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+2} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(x+2) dx = x \log(x+2) - \int \frac{x}{x+2} dx = x \log(x+2) - \int \frac{x+2-2}{x+2} dx = x \log(x+2) - \int (1 - \frac{2}{x+2}) dx = x \log(x+2) - (x - 2\log(x+2)) + C = x \log(x+2) - x + 2\log(x+2) + C = (x+2)\log(x+2) - x + C$

(7) $\int (2x-1) \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = (2x-1) dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2 - x$ となります。

$\int (2x-1) \log x dx = (x^2 - x) \log x - \int \frac{x^2 - x}{x} dx = (x^2 - x) \log x - \int (x - 1) dx = (x^2 - x) \log x - (\frac{x^2}{2} - x) + C$

(8) $\int x \log 2x dx$

部分積分を行います。$u = \log 2x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log 2x dx = \frac{x^2}{2} \log 2x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log 2x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log 2x - \frac{x^2}{4} + C$

(9) $\int \sqrt{x} \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = \sqrt{x} dx = x^{1/2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{2}{3} x^{3/2}$ となります。

$\int \sqrt{x} \log x dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \int \frac{2}{3} x^{3/2} \frac{1}{x} dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{2}{3} \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C$

(10) $\int e^x \cos x dx$

部分積分を2回行います。

まず、$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

次に、$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

よって、

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

$2 \int e^x \cos x dx = e^x \cos x + e^x \sin x + C$

$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $xe^x - e^x + C$

(2) $-x \cos x + \sin x + C$

(3) $(x+1) \sin x + \cos x + C$

(4) $\sec x + C$

(5) $(x^2 - 5x + 5)e^x + C$

(6) $(x+2)\log(x+2) - x + C$

(7) $(x^2 - x) \log x - \frac{x^2}{2} + x + C$

(8) $\frac{x^2}{2} \log 2x - \frac{x^2}{4} + C$

(9) $\frac{2}{3} x^{3/2} \log x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C$

(10) $\frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$