深さが3cmの容器があり、底から $x$ cmの高さで切ったときの断面が、一辺 $x$ cmの正三角形になる。この容器の容積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

深さが3cmの容器があり、底から $x$ cmの高さで切ったときの断面が、一辺 $x$ cmの正三角形になる。この容器の容積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

容器の断面積 $A(x)$ は、高さ $x$ の位置における正三角形の面積である。一辺が $x$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$ である。

$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$

容器の容積 $V$ は、断面積 $A(x)$ を高さ $x$ について0から3まで積分することで求められる。

$V = \int_{0}^{3} A(x) dx = \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 dx$

積分を計算する。

$V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{3} x^2 dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(0^3) \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{27}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^3$