(3) 媒介変数表示された曲線 $x = 3(t - \sin t), y = 3(1 - \cos t)$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で求める。 (4) 媒介変数表示された曲線 $x = \sin 3t, y = \sin 4t$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を $0 \le t \le \frac{\pi}{4}$ の範囲で求める。

1. 問題の内容

(3) 媒介変数表示された曲線 $x = 3(t - \sin t), y = 3(1 - \cos t)$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で求める。

(4) 媒介変数表示された曲線 $x = \sin 3t, y = \sin 4t$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を $0 \le t \le \frac{\pi}{4}$ の範囲で求める。

2. 解き方の手順

(3) 面積 $S$ は次のように計算できる。

$S = \int_{0}^{6\pi} y dx$

媒介変数表示されているので、

$S = \int_{0}^{2\pi} y(t) \frac{dx}{dt} dt$

$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$であるから、

$S = \int_{0}^{2\pi} 3(1 - \cos t) \cdot 3(1 - \cos t) dt$

$S = 9 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 dt$

$S = 9 \int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt$

ここで、$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ より、

$S = 9 \int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt$

$S = 9 \int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t) dt$

$S = 9 \left[ \frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{0}^{2\pi}$

$S = 9 \left( \frac{3}{2} (2\pi) - 2\sin 2\pi + \frac{1}{4}\sin 4\pi - (\frac{3}{2} (0) - 2\sin 0 + \frac{1}{4}\sin 0) \right)$

$S = 9 (3\pi - 0 + 0 - 0 + 0 - 0)$

$S = 27\pi$

(4) 面積 $S$ は次のように計算できる。

$S = \int_{0}^{a} y dx$

ここで、$x = 0$ のとき、$t = 0$ および $t = \frac{\pi}{3}$ 。$x = \sin 3t$ より、$dx = 3\cos 3t dt$ であるから、

$S = \int_{0}^{\pi/3} \sin 4t \cdot 3\cos 3t dt$

$S = 3 \int_{0}^{\pi/3} \sin 4t \cos 3t dt$

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ より、

$S = 3 \int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{2} (\sin(4t+3t) + \sin(4t-3t)) dt$

$S = \frac{3}{2} \int_{0}^{\pi/3} (\sin 7t + \sin t) dt$

$S = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{7}\cos 7t - \cos t \right]_{0}^{\pi/3}$

$S = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{7}\cos \frac{7\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{3} - (-\frac{1}{7}\cos 0 - \cos 0) \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{7}\cos \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{3} + \frac{1}{7} + 1 \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + 1 \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{14} - \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + 1 \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ \frac{-1 - 7 + 2 + 14}{14} \right]$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{14} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(3) $27\pi$

(4) $\frac{6}{7}$