(1) $y = |\log x|$, $y = 1$, $x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めます。 (2) $y = \tan x$, $y = 1$, $y$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めます。

1. 問題の内容

(1) $y = |\log x|$, $y = 1$, $x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めます。

(2) $y = \tan x$, $y = 1$, $y$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = |\log x|$のグラフを描きます。

$x > 0$で定義され、$0 < x < 1$のとき$y = -\log x$, $x \geq 1$のとき$y = \log x$となります。

$y = 1$との交点を求めます。

$-\log x = 1$のとき、$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$\log x = 1$のとき、$x = e$

求める面積$S$は、$\int_{1/e}^{1} (-\log x) dx + \int_{1}^{e} (\log x) dx$で表されます。

$\int \log x dx = x\log x - x + C$ (部分積分)を用いて計算します。

$S = \int_{1/e}^{1} (-\log x) dx + \int_{1}^{e} (\log x) dx = -[x\log x - x]_{1/e}^1 + [x\log x - x]_1^e$

$= -[(1\log 1 - 1) - (\frac{1}{e}\log \frac{1}{e} - \frac{1}{e})] + [(e\log e - e) - (1\log 1 - 1)]$

$= -[(0 - 1) - (\frac{1}{e}(-1) - \frac{1}{e})] + [(e - e) - (0 - 1)]$

$= -[-1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e}] + [1] = 1 - \frac{2}{e} + 1 = 2 - \frac{2}{e}$

(2)

$y = \tan x$と$y = 1$の交点を求めます。

$\tan x = 1$より、$x = \frac{\pi}{4}$

$y$軸($x = 0$)から$x = \frac{\pi}{4}$まで$\tan x$を積分し、$y = 1$の長方形から引きます。

$S = \frac{\pi}{4} \cdot 1 - \int_0^{\pi/4} \tan x dx$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\log|\cos x| + C$

$S = \frac{\pi}{4} - [-\log|\cos x|]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - [-\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \log(1)] = \frac{\pi}{4} - \log \sqrt{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$

3. 最終的な答え

(1) $2 - \frac{2}{e}$

(2) $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$