与えられた関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。対象となる関数は以下の2つです。 (1) $y = 2x^3 - 3x^2$ (2) $y = \frac{3}{4}x^4 + 2x^3 + 1$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。対象となる関数は以下の2つです。

(1) $y = 2x^3 - 3x^2$

(2) $y = \frac{3}{4}x^4 + 2x^3 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^3 - 3x^2$ の場合

* **ステップ1: 導関数を求める**

まず、$y$ の一階導関数 $y'$ と二階導関数 $y''$ を計算します。

$y' = 6x^2 - 6x$

$y'' = 12x - 6$

* **ステップ2: 極値を求める**

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

次に、$y''$ を用いて極値を判定します。

$y''(0) = -6 < 0$ なので、$x = 0$ で極大となります。極大値は $y(0) = 0$ です。

$y''(1) = 6 > 0$ なので、$x = 1$ で極小となります。極小値は $y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = -1$ です。

* **ステップ3: 変曲点を求める**

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x - 6 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$ の前後で $y''$ の符号が変わるので、変曲点です。変曲点の座標は $(\frac{1}{2}, y(\frac{1}{2})) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ となります。

* **ステップ4: 増減表を作成する**

| x | ... | 0 | ... | 1/2 | ... | 1 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | 0 | + | + | + |

| y | ↑ | 極大0 | ↓ | 変曲点 -1/2 | ↓ | 極小-1 | ↑ |

| 凹凸 | 凸 | 凸 | 凸 | | 凹 | 凹 | 凹 |

* **ステップ5: グラフの概形を描く**

極大点 $(0, 0)$、極小点 $(1, -1)$、変曲点 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ を通るようにグラフを描きます。

(2) $y = \frac{3}{4}x^4 + 2x^3 + 1$ の場合

* **ステップ1: 導関数を求める**

$y' = 3x^3 + 6x^2$

$y'' = 9x^2 + 12x$

* **ステップ2: 極値を求める**

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^3 + 6x^2 = 0$

$3x^2(x + 2) = 0$

$x = 0, -2$

$y''$ を用いて極値を判定します。

$y''(-2) = 9(-2)^2 + 12(-2) = 36 - 24 = 12 > 0$ なので、$x = -2$ で極小となります。極小値は $y(-2) = \frac{3}{4}(-2)^4 + 2(-2)^3 + 1 = 12 - 16 + 1 = -3$ です。

$y''(0) = 0$ となるので、$x=0$では$y''$を使った判定ができません。$x=0$の近傍で$y'$の符号を調べます。$x<0$のとき$y' = 3x^2(x+2)$の符号は$(+)(-) = -$、$x>0$のとき$y' = 3x^2(x+2)$の符号は$(+)(+) = +$。したがって、$x=0$では極値を取りません。

* **ステップ3: 変曲点を求める**

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$9x^2 + 12x = 0$

$3x(3x + 4) = 0$

$x = 0, -\frac{4}{3}$

$x=0$と$x=-\frac{4}{3}$の前後で$y''$の符号が変わるので、変曲点です。

変曲点の座標は $(-\frac{4}{3}, y(-\frac{4}{3}))$ および $(0, y(0))$ となります。

$y(-\frac{4}{3}) = \frac{3}{4}(-\frac{4}{3})^4 + 2(-\frac{4}{3})^3 + 1 = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} + 2 \cdot (-\frac{64}{27}) + 1 = \frac{64}{27} - \frac{128}{27} + 1 = -\frac{64}{27} + 1 = -\frac{37}{27}$

変曲点の座標は $(-\frac{4}{3}, -\frac{37}{27})$ および $(0, 1)$ です。

* **ステップ4: 増減表を作成する**

| x | ... | -2 | ... | -4/3 | ... | 0 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| y' | - | 0 | + | + | + | 0 | + |

| y'' | + | + | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↓ | 極小-3 | ↑ | 変曲点 -37/27 | ↑ | 変曲点 1 | ↑ |

| 凹凸 | 凹 | 凹 | 凹 | | 凸 | | 凹 |

* **ステップ5: グラフの概形を描く**

極小点 $(-2, -3)$、変曲点 $(-\frac{4}{3}, -\frac{37}{27})$、変曲点 $(0, 1)$ を通るようにグラフを描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^3 - 3x^2$ の場合:

* 極大値: $x = 0$ で $y = 0$

* 極小値: $x = 1$ で $y = -1$

* 変曲点: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

* 増減表は上記参照

* グラフの概形: 極大点、極小点、変曲点を考慮して描画

(2) $y = \frac{3}{4}x^4 + 2x^3 + 1$ の場合:

* 極小値: $x = -2$ で $y = -3$

* 変曲点: $(-\frac{4}{3}, -\frac{37}{27})$、$(0, 1)$

* 増減表は上記参照

* グラフの概形: 極小点、変曲点を考慮して描画