双曲線関数 $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$ がそれぞれ $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ と定義されているとき、以下の式を証明する。 (1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (2) $(\sinh x)' = \cosh x$ (3) $(\cosh x)' = \sinh x$ (4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$

1. 問題の内容

双曲線関数 $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$ がそれぞれ

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

と定義されているとき、以下の式を証明する。

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $(\sinh x)' = \cosh x$

(3) $(\cosh x)' = \sinh x$

(4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$

2. 解き方の手順

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ を計算し、1になることを示す。

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2$

$= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$

$= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}}{4}$

$= \frac{4}{4} = 1$

したがって、$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ が成立する。

(2) $\sinh x$ を微分し、$\cosh x$ になることを示す。

$(\sinh x)' = (\frac{e^x - e^{-x}}{2})' = \frac{(e^x)' - (e^{-x})'}{2}$

$= \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$= \cosh x$

したがって、$(\sinh x)' = \cosh x$ が成立する。

(3) $\cosh x$ を微分し、$\sinh x$ になることを示す。

$(\cosh x)' = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})' = \frac{(e^x)' + (e^{-x})'}{2}$

$= \frac{e^x + (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$= \sinh x$

したがって、$(\cosh x)' = \sinh x$ が成立する。

(4) $\tanh x$ を微分し、$\frac{1}{\cosh^2 x}$ になることを示す。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ なので、商の微分公式を用いる。

$(\tanh x)' = (\frac{\sinh x}{\cosh x})' = \frac{(\sinh x)'\cosh x - \sinh x(\cosh x)'}{\cosh^2 x}$

$= \frac{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$

(1) より $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ なので、

$(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$

したがって、$(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $(\sinh x)' = \cosh x$

(3) $(\cosh x)' = \sinh x$

(4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$