問題は次の2つの極限が存在するように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めるものです。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + 3}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{x+a}{\sqrt{2-x}-1}$

1. 問題の内容

問題は次の2つの極限が存在するように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めるものです。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + 3}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x+a}{\sqrt{2-x}-1}$

2. 解き方の手順

(1)

極限が存在するためには、分母が $x \to 1$ で 0 に近づくので、分子も $x \to 1$ で 0 に近づく必要があります。

したがって、

$1^2 + a(1) + 3 = 0$

$1 + a + 3 = 0$

$a = -4$

$a = -4$ のとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 3}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x-3) = 1-3 = -2$

(2)

極限が存在するためには、分子が $x \to 1$ で $1+a$ に近づくので、$\sqrt{2-x}-1$ が $x \to 1$ で 0 に近づくことを考えると、$1+a = 0$ である必要があります。したがって、

$1 + a = 0$

$a = -1$

$a = -1$ のとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}$

分子と分母に $\sqrt{2-x}+1$ をかけると、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x}+1)}{(\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x}+1)}{2-x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x}+1)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1} -(\sqrt{2-x}+1) = -(\sqrt{2-1}+1) = -(1+1) = -2$

3. 最終的な答え

(1)

$a = -4$

極限値 = $-2$

(2)

$a = -1$

極限値 = $-2$