$(3x+2y)^5$の展開式における$x^2y^3$の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2y)^5$の展開式における$x^2y^3$の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(3x+2y)^5$の展開式における一般項は

$$\binom{5}{k} (3x)^{5-k} (2y)^k$$

となります。$x^2y^3$の項を求めるので、$5-k=2$かつ$k=3$となる必要があります。

$k=3$を代入すると、項は

$$\binom{5}{3} (3x)^{5-3} (2y)^3 = \binom{5}{3} (3x)^2 (2y)^3$$

$\binom{5}{3}$は、

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

よって、$x^2y^3$の項は

$$10 \times (3x)^2 \times (2y)^3 = 10 \times 9x^2 \times 8y^3 = 10 \times 9 \times 8 \times x^2y^3 = 720x^2y^3$$

したがって、$x^2y^3$の項の係数は720となります。

3. 最終的な答え

720