12本のくじの中に当たりくじが何本か入っている。この中から同時に2本のくじを引いたとき、2本とも当たりくじである確率が $\frac{6}{11}$ である。当たりくじの本数を求める。

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが何本か入っている。この中から同時に2本のくじを引いたとき、2本とも当たりくじである確率が $\frac{6}{11}$ である。当たりくじの本数を求める。

2. 解き方の手順

当たりくじの本数を $x$ とする。

12本のくじから2本を引く組み合わせの総数は $_{12}C_2$ であり、これは

$$_{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$$

当たりくじ$x$本から2本とも当たりくじを引く組み合わせの数は $_xC_2$ であり、これは

$$_xC_2 = \frac{x(x-1)}{2}$$

したがって、2本とも当たりくじを引く確率は

$$\frac{_xC_2}{_{12}C_2} = \frac{\frac{x(x-1)}{2}}{66} = \frac{x(x-1)}{132}$$

これが $\frac{6}{11}$ に等しいので、

$$\frac{x(x-1)}{132} = \frac{6}{11}$$

$$x(x-1) = \frac{6}{11} \times 132 = 6 \times 12 = 72$$

$$x^2 - x - 72 = 0$$

$$(x-9)(x+8) = 0$$

$x$ はくじの本数なので正の整数であるから、$x=9$。

3. 最終的な答え

当たりくじの本数は9本。