与えられた無限級数の和が $\frac{\pi}{2}$ であることを示す問題です。つまり、 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2}$ を証明します。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和が $\frac{\pi}{2}$ であることを示す問題です。つまり、

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2}$

を証明します。

2. 解き方の手順

この問題は、ベータ関数や二項定理、あるいはWallis積などを使って解くことができます。今回は、ベータ関数を用いた方法で解きます。

まず、ベータ関数の定義を確認します。

$B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

ここで、$\Gamma(x)$はガンマ関数です。

次に、ベータ関数の別の表現として以下があります。

$B(x,y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)^{2x-1} (\cos \theta)^{2y-1} d\theta$

これらのベータ関数の定義より

$\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt = 2\int_0^{\pi/2} (\sin \theta)^{2x-1} (\cos \theta)^{2y-1} d\theta$

が成り立ちます。

ここで、$x = y = \frac{1}{2}$ とすると、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(1)} = \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\pi}}{1} = \pi$

また、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)^{0} (\cos \theta)^{0} d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$

ここで、$\arcsin x$ のマクローリン展開を考えます。

$\arcsin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

この式に $x=1$ を代入すると、

$\arcsin 1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \frac{1}{2k+1}$

$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ なので、

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$