3人の女子と10人の男子が円卓に座る。 (1) 3人の女子が連続して並ぶ確率を求める。 (2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率を求める。

1. 問題の内容

3人の女子と10人の男子が円卓に座る。

(1) 3人の女子が連続して並ぶ確率を求める。

(2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3人の女子が連続して並ぶ確率

まず、円卓に13人が座るすべての座り方を考える。円順列なので、すべての座り方は $(13-1)! = 12!$ 通り。

次に、3人の女子が連続して並ぶ座り方を考える。3人の女子をひとまとめにして1人と考えると、全体で11人となる。11人の円順列は $(11-1)! = 10!$ 通り。

さらに、3人の女子の並び方は $3!$ 通りある。

したがって、3人の女子が連続して並ぶ座り方は $10! \times 3!$ 通り。

求める確率は、$\frac{10! \times 3!}{12!} = \frac{10! \times 6}{12 \times 11 \times 10!} = \frac{6}{12 \times 11} = \frac{1}{2 \times 11} = \frac{1}{22}$

(2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率

少なくとも2人の女子が連続して並ぶ場合を考える。これは、

(i) 3人の女子が連続して並ぶ場合

(ii) 2人の女子が連続して並び、残りの1人は離れて並ぶ場合

の2つの場合に分けられる。

(i) は(1)で考えた。3人の女子が連続して並ぶ確率は $\frac{1}{22}$

(ii) 2人の女子が連続して並び、残りの1人は離れて並ぶ場合を考える。

まず、2人の女子をひとまとめにして1人と考える。そして、残りの女子1人と男子10人を並べる。このうち、連続した2人の女子の両隣に男子が座る場合を考える。

まず、10人の男子を円卓に並べる。円順列なので、$(10-1)! = 9!$ 通り。

次に、10人の男子の間に女子1人と、女子のペアを並べる。

まず、女子のペアを並べる場所を考える。これは10箇所から1つを選ぶので10通り。

次に、残りの女子を並べる。ただし、女子のペアの隣には並べないので、8箇所から1つを選ぶので8通り。

最後に、女子のペアの並び方は2通り。

したがって、2人の女子が連続して並び、残りの1人の女子が離れて並ぶ場合の数は $9! \times 10 \times 8 \times 2 = 160 \times 9!$ 通り。

求める確率は $\frac{160 \times 9!}{12!} = \frac{160 \times 9!}{12 \times 11 \times 10 \times 9!} = \frac{160}{12 \times 11 \times 10} = \frac{4}{33}$

少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率は、(i)と(ii)の確率の和である。

$\frac{1}{22} + \frac{4}{33} = \frac{3}{66} + \frac{8}{66} = \frac{11}{66} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 3人の女子が連続して並ぶ確率: $\frac{1}{22}$

(2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率: $\frac{1}{6}$