3人の女子と10人の男子が円卓に座る時、以下の確率を求めます。 (1) 3人の女子が連続して並ぶ確率 (2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率

1. 問題の内容

3人の女子と10人の男子が円卓に座る時、以下の確率を求めます。

(1) 3人の女子が連続して並ぶ確率

(2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率

2. 解き方の手順

(1) 3人の女子が連続して並ぶ確率

まず、円卓に座る場合の総数を求めます。これは、$(13-1)! = 12!$ です。

次に、3人の女子をひとまとめにして考えます。すると、ひとまとまりの女子と10人の男子の合計11人が円卓に座ることになるので、並び方は$(11-1)! = 10!$通りです。

さらに、3人の女子の並び方は$3!$通りあります。

したがって、3人の女子が連続して並ぶ場合の数は、$10! \times 3!$通りです。

求める確率は、$\frac{10! \times 3!}{12!} = \frac{6}{11 \times 12} = \frac{1}{22}$となります。

(2) 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率

まず、3人の女子が連続して並ぶ場合を考えます。これは(1)で求めたように、$\frac{1}{22}$です。

次に、2人の女子が連続して並び、残りの1人の女子が離れて座る場合を考えます。

まず、2人の女子をひとまとめにして考えます。すると、ひとまとまりの女子2人と10人の男子、そして残りの女子1人の合計12人が円卓に座ることになります。

まず、残りの女子をどこに座らせるかを考えます。連続した2人の女子の両隣には座れません。

まず2人組の女子を固定して考えます。そうすると残りの10席のうち、女子2人の隣の席を除く8席に座ることができます。10人 + 1人の女子の円順列は $10!$ であり、連続する女子2人の並び方は2通り、残りの女子の座り方は8通りであるから、この場合の数は、$10! \times 2 \times 8$通りです。

しかし、この方法だと計算が複雑になるため、余事象を考えます。

少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率の余事象は、「どの2人の女子も隣り合わない」場合です。

まず、10人の男子を円卓に並べます。これは$(10-1)! = 9!$通りです。

次に、男子の間に3人の女子を座らせます。男子の間の席は10個あるので、そこから3個を選んで女子を座らせる方法は、$_{10}P_3 = 10 \times 9 \times 8$通りです。そして、3人の女子の並び方は$3!$通りです。

したがって、どの2人の女子も隣り合わない場合の数は、$9! \times 10 \times 9 \times 8 \times 3!$通りです。

求める確率は、$1 - \frac{9! \times 10 \times 9 \times 8 \times 3!}{12!} = 1 - \frac{9! \times 10 \times 9 \times 8 \times 6}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 9!} = 1 - \frac{6 \times 8}{12 \times 11} = 1 - \frac{48}{132} = 1 - \frac{4}{11} = \frac{7}{11}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{22}$

(2) $\frac{7}{11}$