3人の受験生A, B, Cがいて、それぞれの志望校に合格する確率が$P(A) = \frac{4}{5}, P(B) = \frac{3}{4}, P(C) = \frac{2}{3}$である。 (1) 3人とも合格する確率を求めよ。 (2) 2人だけ合格する確率を求めよ。 (3) 少なくとも1人が合格する確率を求めよ。

1. 問題の内容

3人の受験生A, B, Cがいて、それぞれの志望校に合格する確率が$P(A) = \frac{4}{5}, P(B) = \frac{3}{4}, P(C) = \frac{2}{3}$である。

(1) 3人とも合格する確率を求めよ。

(2) 2人だけ合格する確率を求めよ。

(3) 少なくとも1人が合格する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3人とも合格する確率は、それぞれの確率を掛け合わせることで求められる。

$P(\text{3人とも合格}) = P(A) \times P(B) \times P(C)$

(2) 2人だけ合格する確率は、AとBが合格してCが不合格、AとCが合格してBが不合格、BとCが合格してAが不合格の3つのケースの確率を足し合わせることで求められる。

$P(\text{2人だけ合格}) = P(A)P(B)(1-P(C)) + P(A)(1-P(B))P(C) + (1-P(A))P(B)P(C)$

(3) 少なくとも1人が合格する確率は、1 - (全員が不合格の確率) で求められる。

$P(\text{少なくとも1人合格}) = 1 - (1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))$

具体的な計算:

(1)

$P(\text{3人とも合格}) = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$

(2)

$P(\text{2人だけ合格}) = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times (1-\frac{2}{3}) + \frac{4}{5} \times (1-\frac{3}{4}) \times \frac{2}{3} + (1-\frac{4}{5}) \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$

$= \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$

$= \frac{12}{60} + \frac{8}{60} + \frac{6}{60} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$

(3)

$P(\text{少なくとも1人合格}) = 1 - (1-\frac{4}{5})(1-\frac{3}{4})(1-\frac{2}{3}) = 1 - (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{60} = \frac{59}{60}$

3. 最終的な答え

(1) 3人とも合格する確率: $\frac{2}{5}$

(2) 2人だけ合格する確率: $\frac{13}{30}$

(3) 少なくとも1人が合格する確率: $\frac{59}{60}$