表と裏が出る確率がそれぞれ $1/2$ の硬貨を7回投げます。 (1) 表がちょうど3回出る確率を求めます。 (2) 表が3回以上出る確率を求めます。 (3) 表が3回以上連続して出る確率を求めます。

1. 問題の内容

表と裏が出る確率がそれぞれ $1/2$ の硬貨を7回投げます。

(1) 表がちょうど3回出る確率を求めます。

(2) 表が3回以上出る確率を求めます。

(3) 表が3回以上連続して出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 表がちょうど3回出る確率

7回の試行で表が3回出る確率は、二項分布に従います。

試行回数 $n=7$、成功確率 $p=1/2$、成功回数 $k=3$ とすると、確率は

$P(X=3) = {}_7 C_3 (1/2)^3 (1-1/2)^{7-3} = {}_7 C_3 (1/2)^3 (1/2)^4 = {}_7 C_3 (1/2)^7$

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、$P(X=3) = 35 \times (1/2)^7 = 35/128$

(2) 表が3回以上出る確率

表が3回以上出る確率は、表が3回、4回、5回、6回、7回出る確率の和です。

これは、余事象の確率、つまり表が0回、1回、2回出る確率を計算して、1から引くことで求めることもできます。

$P(X \ge 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

$P(X=0) = {}_7 C_0 (1/2)^7 = 1/128$

$P(X=1) = {}_7 C_1 (1/2)^7 = 7/128$

$P(X=2) = {}_7 C_2 (1/2)^7 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} (1/2)^7 = 21/128$

$P(X \ge 3) = 1 - (\frac{1}{128} + \frac{7}{128} + \frac{21}{128}) = 1 - \frac{29}{128} = \frac{99}{128}$

(3) 表が3回以上連続して出る確率

これは少し複雑です。全事象を書き出すことは困難なので、以下の手順で考えます。

全事象は $2^7 = 128$ 通りです。

3回以上連続して表が出る場合を数え上げます。

具体的には、

- 3回連続: (表表表)〇〇〇〇, 〇(表表表)〇〇〇, 〇〇(表表表)〇〇, 〇〇〇(表表表)〇, 〇〇〇〇(表表表)

- 4回連続: (表表表表)〇〇〇, 〇(表表表表)〇〇, 〇〇(表表表表)〇, 〇〇〇(表表表表)

- 5回連続: (表表表表表)〇〇, 〇(表表表表表)〇, 〇〇(表表表表表)

- 6回連続: (表表表表表表)〇, 〇(表表表表表表)

- 7回連続: (表表表表表表表)

ただし、重複があるので注意が必要です。例えば、(表表表表) があれば (表表表) も含まれています。

地道に数え上げる方法で解きます。

表をH, 裏をTとします。

HHHT*** : 2^4 = 16

THHHT** : 2^3 = 8

*THHHT* : 2^3 = 8

**THHHT : 2^3 = 8

***THHH : 2^4 = 16

合計 16+8+8+8+16 = 56

ここから重複を引きます。

HHHHTHH :

HHHTHHH :

THHHTHH :

確率を計算します。

全事象は 128通り

求める確率は56/128 - ダブり

56/128は間違いなので、別の方法で解きます。

全事象は $2^7 = 128$通りです。

表が3回以上連続して出るパターンを数え上げます。

3回以上の連続が必要なので、余事象を考えるのは難しいです。

全パターンを書き出して数え上げるのは大変なので、別の方法を探します。

一旦、この問題は保留します。

3. 最終的な答え

(1) 表がちょうど3回出る確率: $35/128$

(2) 表が3回以上出る確率: $99/128$

(3) 表が3回以上連続して出る確率: 不明 (保留)