正六角形の頂点を動く点Pがあり、最初は頂点Oにいます。サイコロを投げて、偶数が出たら時計回りに2つ、奇数が出たら反時計回りに1つ頂点を移動します。 (1) サイコロを3回投げたとき、Pが頂点Oに戻る確率を求めます。 (2) サイコロを6回投げたとき、Pが頂点Oに戻る確率を求めます。

1. 問題の内容

正六角形の頂点を動く点Pがあり、最初は頂点Oにいます。サイコロを投げて、偶数が出たら時計回りに2つ、奇数が出たら反時計回りに1つ頂点を移動します。

(1) サイコロを3回投げたとき、Pが頂点Oに戻る確率を求めます。

(2) サイコロを6回投げたとき、Pが頂点Oに戻る確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロを3回投げたとき、偶数が出る回数を$x$回、奇数が出る回数を$y$回とします。すると、$x+y=3$となります。Pが頂点Oに戻るためには、$2x - y$が6の倍数である必要があります。つまり、$2x-y = 6k$ (kは整数) ということになります。

$y = 3-x$を$2x - y = 6k$に代入すると、$2x - (3-x) = 6k$より、$3x - 3 = 6k$、つまり$x-1 = 2k$となります。したがって、$x = 2k+1$です。

$x$は0から3までの整数なので、$k$は整数であることから以下の可能性を考慮します。

* $k = 0$のとき、$x=1$、$y=2$

* $k = 1$のとき、$x=3$、$y=0$

$x=1, y=2$の場合、確率は ${}_3C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8}$

$x=3, y=0$の場合、確率は ${}_3C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^0 = \frac{1}{8}$

よって、求める確率は$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

(2)

サイコロを6回投げたとき、偶数が出る回数を$x$回、奇数が出る回数を$y$回とします。すると、$x+y=6$となります。Pが頂点Oに戻るためには、$2x - y$が6の倍数である必要があります。つまり、$2x-y = 6k$ (kは整数) ということになります。

$y = 6-x$を$2x - y = 6k$に代入すると、$2x - (6-x) = 6k$より、$3x - 6 = 6k$、つまり$x-2 = 2k$となります。したがって、$x = 2k+2$です。

$x$は0から6までの整数なので、$k$は整数であることから以下の可能性を考慮します。

* $k = -1$のとき、$x=0$、$y=6$

* $k = 0$のとき、$x=2$、$y=4$

* $k = 1$のとき、$x=4$、$y=2$

* $k = 2$のとき、$x=6$、$y=0$

$x=0, y=6$の場合、確率は ${}_6C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$

$x=2, y=4$の場合、確率は ${}_6C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^4 = \frac{15}{64}$

$x=4, y=2$の場合、確率は ${}_6C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{64}$

$x=6, y=0$の場合、確率は ${}_6C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^0 = \frac{1}{64}$

よって、求める確率は$\frac{1}{64} + \frac{15}{64} + \frac{15}{64} + \frac{1}{64} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$