袋Aには赤玉3個、白玉2個、袋Bには赤玉2個、白玉3個が入っている。 (1) 袋Aから1個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから1個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が赤玉である確率を求める。 (2) 袋Aから2個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから2個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が2個とも赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには赤玉3個、白玉2個、袋Bには赤玉2個、白玉3個が入っている。

(1) 袋Aから1個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから1個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が赤玉である確率を求める。

(2) 袋Aから2個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから2個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が2個とも赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

袋Aから取り出す玉が赤玉の場合と白玉の場合に分けて考える。

(i) 袋Aから赤玉を取り出す場合：

袋Aから赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ 。

このとき、袋Bには赤玉3個、白玉3個が入っている。

袋Bから赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 。

したがって、この場合の確率は $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ 。

(ii) 袋Aから白玉を取り出す場合：

袋Aから白玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ 。

このとき、袋Bには赤玉2個、白玉4個が入っている。

袋Bから赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。

したがって、この場合の確率は $\frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$ 。

求める確率は、(i)と(ii)の和であるから、

$\frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} = \frac{13}{30}$

(2)

袋Aから取り出す2個の玉の組み合わせで場合分けする。

(i) 赤玉2個を取り出す場合：

袋Aから赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$ 。

このとき、袋Bには赤玉4個、白玉3個が入っている。

袋Bから赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ 。

したがって、この場合の確率は $\frac{3}{10} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{70} = \frac{3}{35}$ 。

(ii) 赤玉1個、白玉1個を取り出す場合：

袋Aから赤玉1個、白玉1個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ 。

このとき、袋Bには赤玉3個、白玉4個が入っている。

袋Bから赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$ 。

したがって、この場合の確率は $\frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{35}$ 。

(iii) 白玉2個を取り出す場合：

袋Aから白玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$ 。

このとき、袋Bには赤玉2個、白玉5個が入っている。

袋Bから赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_7C_2} = \frac{1}{21}$ 。

したがって、この場合の確率は $\frac{1}{10} \times \frac{1}{21} = \frac{1}{210}$ 。

求める確率は、(i)と(ii)と(iii)の和であるから、

$\frac{3}{35} + \frac{3}{35} + \frac{1}{210} = \frac{18}{210} + \frac{18}{210} + \frac{1}{210} = \frac{37}{210}$ 。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{13}{30}$

(2) $\frac{37}{210}$