ある工場で機械A, B, Cを用いて製品を製造している。各機械で作られた製品の不良品の確率と、各機械が製造する製品の割合が与えられている。 (1) 製品を1つ取り出したとき、それが不良品である確率を求めよ。 (2) 取り出した製品が不良品であったとき、それが機械Aで製造された製品である確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある工場で機械A, B, Cを用いて製品を製造している。各機械で作られた製品の不良品の確率と、各機械が製造する製品の割合が与えられている。

(1) 製品を1つ取り出したとき、それが不良品である確率を求めよ。

(2) 取り出した製品が不良品であったとき、それが機械Aで製造された製品である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 全確率の公式を用いて、製品が不良品である確率を計算する。

機械Aで製造される確率を $P(A)$、機械Bで製造される確率を $P(B)$、機械Cで製造される確率を $P(C)$ とする。

また、機械Aで製造された製品が不良品である確率を $P(D|A)$、機械Bで製造された製品が不良品である確率を $P(D|B)$、機械Cで製造された製品が不良品である確率を $P(D|C)$ とする。

不良品である確率 $P(D)$ は、

$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)$

で計算できる。

問題文より、$P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.3$, $P(C) = 0.2$, $P(D|A) = 0.04$, $P(D|B) = 0.08$, $P(D|C) = 0.10$ であるから、

$P(D) = 0.04 \times 0.5 + 0.08 \times 0.3 + 0.10 \times 0.2 = 0.02 + 0.024 + 0.02 = 0.064$

(2) ベイズの定理を用いて、不良品が機械Aで製造された確率を計算する。

不良品であったとき、それが機械Aで製造された製品である確率 $P(A|D)$ は、

$P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$

で計算できる。

$P(D|A) = 0.04$, $P(A) = 0.5$, $P(D) = 0.064$ であるから、

$P(A|D) = \frac{0.04 \times 0.5}{0.064} = \frac{0.02}{0.064} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125$

3. 最終的な答え

(1) 不良品である確率は $0.064$ (または 6.4%)

(2) 不良品であったとき、それが機械Aで製造された製品である確率は $\frac{5}{16}$ (または 0.3125 または 31.25%)