与えられた等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が、$x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が、$x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

$a(x+1)^2 - b(x-2) + c = a(x^2 + 2x + 1) - b(x-2) + c = ax^2 + 2ax + a - bx + 2b + c = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$

この式が $2x^2 + 3x + 7$ と恒等式であるためには、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の3つの式が得られます。

$x^2$ の係数： $a = 2$

$x$ の係数： $2a - b = 3$

定数項： $a + 2b + c = 7$

$a = 2$ を2番目の式に代入すると、$2(2) - b = 3$ となり、$4 - b = 3$ より、$b = 1$ が得られます。

$a = 2$ と $b = 1$ を3番目の式に代入すると、$2 + 2(1) + c = 7$ となり、$4 + c = 7$ より、$c = 3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 1$, $c = 3$