統計学者H氏は、アメリカの耕地面積$X$（単位：エーカー）を、日本の単位であるヘクタール$Z$に変換した。変換式は、$Z = 0.404686X$ である。この時、以下の問いに答えよ。 問9: $X$の分散は$Z$の分散の何倍か？ 問10: $X$と$Y$の共分散は$Z$と$Y$の共分散の何倍か？ 問11: $X$と$Y$の相関係数は$Z$と$Y$の相関係数の何倍か？

1. 問題の内容

統計学者H氏は、アメリカの耕地面積$X$（単位：エーカー）を、日本の単位であるヘクタール$Z$に変換した。変換式は、$Z = 0.404686X$ である。この時、以下の問いに答えよ。

問9: $X$の分散は$Z$の分散の何倍か？

問10: $X$と$Y$の共分散は$Z$と$Y$の共分散の何倍か？

問11: $X$と$Y$の相関係数は$Z$と$Y$の相関係数の何倍か？

2. 解き方の手順

まず、$X$と$Z$の関係式 $Z = 0.404686X$ から、$X = \frac{1}{0.404686}Z$ である。

問9: 分散について

分散の性質として、$Var(aX) = a^2 Var(X)$ がある。よって、

$Var(X) = Var(\frac{1}{0.404686}Z) = (\frac{1}{0.404686})^2 Var(Z) = \frac{1}{(0.404686)^2}Var(Z)$

したがって、$X$の分散は$Z$の分散の $\frac{1}{(0.404686)^2}$ 倍である。

問10: 共分散について

共分散の性質として、$Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y)$ がある。よって、

$Cov(X, Y) = Cov(\frac{1}{0.404686}Z, Y) = \frac{1}{0.404686}Cov(Z, Y)$

したがって、$X$と$Y$の共分散は$Z$と$Y$の共分散の $\frac{1}{0.404686}$ 倍である。

問11: 相関係数について

相関係数の定義は $Corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$ である。

$Corr(X, Y) = Corr(\frac{1}{0.404686}Z, Y) = \frac{Cov(\frac{1}{0.404686}Z, Y)}{\sqrt{Var(\frac{1}{0.404686}Z)Var(Y)}} = \frac{\frac{1}{0.404686}Cov(Z, Y)}{\sqrt{\frac{1}{(0.404686)^2}Var(Z)Var(Y)}} = \frac{\frac{1}{0.404686}Cov(Z, Y)}{\frac{1}{0.404686}\sqrt{Var(Z)Var(Y)}} = \frac{Cov(Z, Y)}{\sqrt{Var(Z)Var(Y)}} = Corr(Z, Y)$

したがって、$X$と$Y$の相関係数は$Z$と$Y$の相関係数と等しく、1倍である。

3. 最終的な答え

問9: $\frac{1}{(0.404686)^2}$

問10: $\frac{1}{0.404686}$

問11: 1