曲線 $C: \mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t)$ ($0 \le t \le 1$) に沿う次の線積分の値を求めよ。 (a) $\int_C (x+3yz) ds$ (b) $\int_C (x+3yz) dz$

1. 問題の内容

曲線 $C: \mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t)$ ($0 \le t \le 1$) に沿う次の線積分の値を求めよ。

(a) $\int_C (x+3yz) ds$

(b) $\int_C (x+3yz) dz$

2. 解き方の手順

(a) 線積分 $\int_C (x+3yz) ds$ を計算する。

まず、$x(t) = t^3$, $y(t) = t^2$, $z(t) = \frac{2}{3}t$ である。

$\mathbf{r}'(t) = (3t^2, 2t, \frac{2}{3})$

$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(3t^2)^2 + (2t)^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}}$

$ds = |\mathbf{r}'(t)| dt = \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} dt = \sqrt{(3t^2 + \frac{2}{3})^2} dt = (3t^2 + \frac{2}{3}) dt$

$x+3yz = t^3 + 3(t^2)(\frac{2}{3}t) = t^3 + 2t^3 = 3t^3$

したがって、

$\int_C (x+3yz) ds = \int_0^1 (3t^3)(3t^2+\frac{2}{3})dt = \int_0^1 (9t^5 + 2t^3) dt = [\frac{9}{6}t^6 + \frac{2}{4}t^4]_0^1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

(b) 線積分 $\int_C (x+3yz) dz$ を計算する。

$x(t) = t^3$, $y(t) = t^2$, $z(t) = \frac{2}{3}t$

$dz = \frac{2}{3} dt$

$x+3yz = t^3 + 3(t^2)(\frac{2}{3}t) = t^3 + 2t^3 = 3t^3$

したがって、

$\int_C (x+3yz) dz = \int_0^1 (3t^3)(\frac{2}{3} dt) = \int_0^1 2t^3 dt = [\frac{2}{4}t^4]_0^1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) 2

(b) $\frac{1}{2}$