不定積分 $\int \frac{(x-2)(x+1)}{x} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{(x-2)(x+1)}{x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を整理します。

$\frac{(x-2)(x+1)}{x} = \frac{x^2 -x -2}{x} = x - 1 - \frac{2}{x}$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int (x - 1 - \frac{2}{x}) dx = \int x dx - \int 1 dx - \int \frac{2}{x} dx$

それぞれの積分は以下のようになります。

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

$\int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln|x| + C_3$

したがって、

$\int (x - 1 - \frac{2}{x}) dx = \frac{1}{2}x^2 - x - 2\ln|x| + C$ (ただし、$C = C_1 - C_2 - C_3$)

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 - x - 2\ln|x| + C$