あるコンビニエンスストアで販売されている幕の内弁当のカロリーについて、25個の弁当を無作為に選びカロリーを計測したところ、標本平均は646.5kcal、標本分散は120であった。カロリーが正規分布に従うと仮定した場合、母平均$\mu$に関する95%信頼区間を求め、表示カロリー650kcalがその信頼区間に含まれるかどうかを判断する。

1. 問題の内容

あるコンビニエンスストアで販売されている幕の内弁当のカロリーについて、25個の弁当を無作為に選びカロリーを計測したところ、標本平均は646.5kcal、標本分散は120であった。カロリーが正規分布に従うと仮定した場合、母平均$\mu$に関する95%信頼区間を求め、表示カロリー650kcalがその信頼区間に含まれるかどうかを判断する。

2. 解き方の手順

問題文に95%信頼区間が既に計算されています。自由度24のt分布の両側5%点が$t_{0.025}(24) = 2.064$であり、95%信頼区間は以下のように計算されます。

$$646.5 - 2.064 \sqrt{\frac{120}{24}} \le \mu \le 646.5 + 2.064 \sqrt{\frac{120}{24}}$$

計算結果から、95%信頼区間は$641.9 \le \mu \le 651.1$となります。

表示カロリー650kcalがこの信頼区間に含まれるかどうかを確認します。$641.9 \le 650 \le 651.1$を満たすため、650kcalは信頼区間に含まれます。

したがって、表示カロリーは妥当であると判断できます。

3. 最終的な答え

問1: 641.9

問2: 651.1

問3: ④含まれるため妥当である