与えられた3つの関数をそれぞれ微分せよ。 (1) $y = x \sin^3 x$ (2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ (3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分せよ。

(1) $y = x \sin^3 x$

(2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x \sin^3 x$ の微分

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分法を用いる。

$u = x$, $v = \sin^3 x$ とすると、

$u' = 1$, $v' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$

したがって、

$y' = 1 \cdot \sin^3 x + x \cdot 3\sin^2 x \cos x = \sin^3 x + 3x \sin^2 x \cos x$

(2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ の微分

合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \cos^{-1} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x-1})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = -\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = -\frac{1}{\sqrt{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = -\frac{1}{2\sqrt{(2-x)(x-1)}}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$ の微分

まず、 $y = x \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ と変形する。

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x$, $v = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}} \cdot \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}} \cdot \frac{-3}{(x-1)^2} = \frac{-3}{2(x-1)^2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}}$

$y' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} + x \cdot \frac{-3}{2(x-1)^2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)^2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)^2}\sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = \frac{2(x-1)^2(x+2) - 3x(x-1)}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$

$= \frac{2(x^2-2x+1)(x+2) - 3x^2+3x}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = \frac{2(x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2) - 3x^2+3x}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$

$= \frac{2(x^3-3x+2)-3x^2+3x}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = \frac{2x^3-6x+4-3x^2+3x}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = \frac{2x^3-3x^2-3x+4}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \sin^3 x + 3x \sin^2 x \cos x$

(2) $y' = -\frac{1}{2\sqrt{(2-x)(x-1)}}$

(3) $y' = \frac{2x^3-3x^2-3x+4}{2(x-1)^2(x+2)}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$