$0 \leq \theta \leq 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta - \sin \theta + 4\cos \theta \leq 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta - \sin \theta + 4\cos \theta \leq 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2\theta$ を $2\sin \theta \cos \theta$ で置き換えます。

与えられた不等式は以下のようになります。

$2\sin \theta \cos \theta - \sin \theta + 4\cos \theta \leq 2$

次に、左辺を整理します。

$2\sin \theta \cos \theta - \sin \theta + 4\cos \theta - 2 \leq 0$

$\sin \theta(2\cos \theta - 1) + 2(2\cos \theta - 1) \leq 0$

$(2\cos \theta - 1)(\sin \theta + 2) \leq 0$

$\sin \theta + 2$ は常に正であるため、$2\cos \theta - 1 \leq 0$ であることが必要です。

したがって、

$2\cos \theta - 1 \leq 0$

$\cos \theta \leq \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で $\cos \theta \leq \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ のときです。

$\cos \theta \leq \frac{1}{2}$ となるのは $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{3}$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{3}$