$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、 $\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ とおき、係数 A, B を求めます。 $1 = A(x-2) + B(x-1)$ $x = 1$ のとき $1 = A(1-2) \Rightarrow A = -1$ $x = 2$ のとき $1 = B(2-1) \Rightarrow B = 1$ よって、 $\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x}$

## 問題の内容

与えられた4つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の原点中心の場合）を求めます。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$

(4) $f(x) = \log(1 - x - 12x^2)$

## 解き方の手順

**(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$**

1. 部分分数分解を行います。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、

$\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

とおき、係数 A, B を求めます。

$1 = A(x-2) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき $1 = A(1-2) \Rightarrow A = -1$

$x = 2$ のとき $1 = B(2-1) \Rightarrow B = 1$

よって、

$\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x}$

2. 等比級数の公式 $\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$ を利用します。

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

$\frac{1}{2-x} = \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}}$

3. 上記の結果を代入します。

$\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n+1}})x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2^{n+1} - 1}{2^{n+1}})x^n$

**(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$**

1. $\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{x+2-2}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^2}$

2. $\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2(1 + \frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n$

3. $\frac{1}{(x+2)^2} = - \frac{d}{dx} (\frac{1}{x+2}) = - \frac{d}{dx} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{2^{n+1}} x^{n-1} = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (n+1)}{2^{n+2}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1)}{2^{n+2}} x^n$

4. $\frac{x}{(x+2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1)}{2^{n+2}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1)}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (1 - (n+1))}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-n)}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n+1}} x^n$

**(3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$**

1. $\log \frac{1-x}{1+x} = \log (1-x) - \log (1+x)$

2. $\log(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

3. $\log \frac{1-x}{1+x} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n} - \frac{(-1)^{n-1}}{n}) x^n = \sum_{n=1}^\infty (-\frac{1 + (-1)^{n-1}}{n}) x^n$

$n$ が偶数のとき、$1 + (-1)^{n-1} = 0$。 $n$ が奇数のとき、$1 + (-1)^{n-1} = 2$。

よって、

$\log \frac{1-x}{1+x} = \sum_{k=0}^\infty (-\frac{2}{2k+1}) x^{2k+1} = -2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

**(4) $f(x) = \log(1 - x - 12x^2)$**

1. $1 - x - 12x^2 = (1 - 4x)(1 + 3x)$ なので、

$\log(1 - x - 12x^2) = \log(1 - 4x) + \log(1 + 3x)$

2. $\log(1-4x) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{(4x)^n}{n} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n} x^n$

$\log(1+3x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} (3x)^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 3^n}{n} x^n$

3. $\log(1 - x - 12x^2) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n} x^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 3^n}{n} x^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 3^n - 4^n}{n} x^n$

## 最終的な答え

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2^{n+1} - 1}{2^{n+1}})x^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $-2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

(4) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 3^n - 4^n}{n} x^n$