ある会社が提供するカラオケ機器で歌唱採点を行った結果に関する統計の問題です。10人の採点データが与えられ、母集団は正規分布に従うと仮定します。 (1) 母集団の標準偏差が不明な場合の母平均の95%信頼区間を求めます。そのため、標本平均と標本分散を計算し、t分布を用います。 (2) 母集団の標準偏差が既知の場合（5.0点）の母平均の95%信頼区間を求めます。この場合は、正規分布を用います。

以下に、問題の解説と解答を示します。

1. 問題の内容

ある会社が提供するカラオケ機器で歌唱採点を行った結果に関する統計の問題です。10人の採点データが与えられ、母集団は正規分布に従うと仮定します。

(1) 母集団の標準偏差が不明な場合の母平均の95%信頼区間を求めます。そのため、標本平均と標本分散を計算し、t分布を用います。

(2) 母集団の標準偏差が既知の場合（5.0点）の母平均の95%信頼区間を求めます。この場合は、正規分布を用います。

2. 解き方の手順

(1) 母集団の標準偏差が不明な場合：

- 標本平均 $\bar{X}$ は問題文に与えられています：$\bar{X} = 85$

- 標本分散 $\hat{\sigma}^2$ も問題文に与えられています：$\hat{\sigma}^2 = 27.6$

- 自由度 $n-1 = 10 - 1 = 9$ のt分布における両側5%点は $t_{0.025}(9) = 2.262$ です。

- 母平均 $\mu$ の95%信頼区間は以下の式で求められます：

$\bar{X} - t_{0.025}(n-1) \frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{0.025}(n-1) \frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{\sqrt{n}}$

$85 - 2.262 \frac{\sqrt{27.6}}{\sqrt{10}} \le \mu \le 85 + 2.262 \frac{\sqrt{27.6}}{\sqrt{10}}$

$85 - 2.262 \times \sqrt{2.76} \le \mu \le 85 + 2.262 \times \sqrt{2.76}$

$85 - 2.262 \times 1.661 \le \mu \le 85 + 2.262 \times 1.661$

$85 - 3.757 \le \mu \le 85 + 3.757$

$81.243 \le \mu \le 88.757$

(2) 母集団の標準偏差 $\sigma = 5.0$ が既知の場合：

- 母平均 $\mu$ の95%信頼区間は以下の式で求められます：

$\bar{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$85 - 1.96 \frac{5}{\sqrt{10}} \le \mu \le 85 + 1.96 \frac{5}{\sqrt{10}}$

$85 - 1.96 \frac{5}{3.162} \le \mu \le 85 + 1.96 \frac{5}{3.162}$

$85 - 1.96 \times 1.581 \le \mu \le 85 + 1.96 \times 1.581$

$85 - 3.099 \le \mu \le 85 + 3.099$

$81.901 \le \mu \le 88.099$

3. 最終的な答え

(1) 問4: 2 (85), 問5: 3 (27.6), 問6: 2 (81.0), 問7: 3 (89.0)

(2) 問8: 3 (81.9), 問9: 2 (88.1)