自然数 $n$ が不等式 $38 \le \log_{10} 8^n < 39$ を満たすとき、$8^n$ の桁数、$n$ の値、$8^n$ の一の位の数字、$8^n$ の最高位の数字を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$, $\log_{10} 7 = 0.8451$ とします。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が不等式 $38 \le \log_{10} 8^n < 39$ を満たすとき、$8^n$ の桁数、$n$ の値、$8^n$ の一の位の数字、$8^n$ の最高位の数字を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$, $\log_{10} 7 = 0.8451$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$8^n$ の桁数を求めます。$38 \le \log_{10} 8^n < 39$ より、

$38 \le n \log_{10} 8 < 39$

$38 \le n \log_{10} 2^3 < 39$

$38 \le 3n \log_{10} 2 < 39$

$38 \le 3n(0.3010) < 39$

$38 \le 0.903n < 39$

$n$ の値を求めるために、各辺を $0.903$ で割ると

$\frac{38}{0.903} \le n < \frac{39}{0.903}$

$42.08 \le n < 43.2$

$n$ は自然数なので $n = 43$ である。

$8^n$ の桁数は $\log_{10} 8^n$ の整数部分に1を足したものである。

$38 \le \log_{10} 8^n < 39$より$8^n$ は39桁である。

次に、$8^n$ の一の位の数字を求めます。$8^1 = 8, 8^2 = 64, 8^3 = 512, 8^4 = 4096, 8^5 = 32768$ となるので、一の位は $8, 4, 2, 6$ を繰り返します。

$n=43$ なので $43 \div 4 = 10$ あまり $3$ です。したがって、$8^{43}$ の一の位は $2$ です。

最後に、$8^n$ の最高位の数字を求めます。$\log_{10} 8^n = n \log_{10} 8 = 43 \times 3 \log_{10} 2 = 43 \times 3 \times 0.3010 = 43 \times 0.903 = 38.829$

$\log_{10} 8^{43} = 38.829$

したがって、$8^{43} = 10^{38.829} = 10^{38} \times 10^{0.829}$

$10^{0.829}$ の値を見つける必要があります。

$\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$\log_{10} 7 = 0.8451$

$0.7781 < 0.829 < 0.8451$ より $6 < 10^{0.829} < 7$

したがって、$8^{43}$ の最高位の数字は $6$ です。

3. 最終的な答え

$8^n$ は 39 桁の自然数で、$n = 43$ である。

また、$8^n$ の一の位の数字は 2 である。

$8^n$ の最高位の数字は 6 である。