座標平面上に直線 $l: y=mx-4m$ と放物線 $C: y=\frac{1}{4}x^2$ がある。$l$ と $C$ は異なる2点 $P, Q$ で交わる。線分 $PQ$ の中点を $M$ とする。 (1) $l$ は $m$ の値にかかわらず通る定点の座標を求めよ。 (2) $m$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) 点 $M$ の軌跡を求め、座標平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に直線 $l: y=mx-4m$ と放物線 $C: y=\frac{1}{4}x^2$ がある。$l$ と $C$ は異なる2点 $P, Q$ で交わる。線分 $PQ$ の中点を $M$ とする。

(1) $l$ は $m$ の値にかかわらず通る定点の座標を求めよ。

(2) $m$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) 点 $M$ の軌跡を求め、座標平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $l$ の式 $y = mx - 4m$ を変形すると、

$y = m(x-4)$ となる。$m$ の値にかかわらずこの式が成り立つためには、

$x - 4 = 0$ かつ $y = 0$ であればよい。よって、$x = 4, y = 0$ となる。

(2) $l$ と $C$ が異なる2点で交わるための条件を考える。

連立方程式 $y = mx - 4m$ と $y = \frac{1}{4}x^2$ を解く。

$\frac{1}{4}x^2 = mx - 4m$

$x^2 = 4mx - 16m$

$x^2 - 4mx + 16m = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-4m)^2 - 4(1)(16m) = 16m^2 - 64m = 16m(m - 4) > 0$

したがって、$m < 0$ または $m > 4$

(3) 点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha, \beta$ は $x^2 - 4mx + 16m = 0$ の解である。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4m$

$M$ の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{4m}{2} = 2m$

また、$Y = mX - 4m = m(X - 4)$

$X = 2m$ より $m = \frac{X}{2}$ を代入すると、

$Y = \frac{X}{2}(X - 4) = \frac{1}{2}X^2 - 2X$

よって、$Y = \frac{1}{2}(X - 2)^2 - 2$

$m < 0$ または $m > 4$ より、$X = 2m$ であるから、$X < 0$ または $X > 8$

したがって、点 $M$ の軌跡は、放物線 $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2$ の $x < 0$ または $x > 8$ の部分である。

3. 最終的な答え

(1) $(4, 0)$

(2) $m < 0$ または $m > 4$

(3) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2$ の $x < 0$ または $x > 8$ の部分。