問題は、実数 $x$ に関する2つの命題の真偽を、集合を用いて調べることです。 (1) $0 \le x \le 1$ ならば $|x| < 1$ (2) $|x-1| < 2$ ならば $x < 3$

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ に関する2つの命題の真偽を、集合を用いて調べることです。

(1) $0 \le x \le 1$ ならば $|x| < 1$

(2) $|x-1| < 2$ ならば $x < 3$

2. 解き方の手順

(1)

仮定 $0 \le x \le 1$ を満たす $x$ の集合を $A$ とします。

結論 $|x| < 1$ を満たす $x$ の集合を $B$ とします。

$0 \le x \le 1$ は $x \in A$ を意味し、$|x| < 1$ は $x \in B$ を意味します。

命題「$0 \le x \le 1$ ならば $|x| < 1$」が真であるためには、$A \subset B$ である必要があります。

$A = \{x | 0 \le x \le 1\}$

$B = \{x | -1 < x < 1\}$

$A$ の要素はすべて $B$ に含まれているので、$A \subset B$。

(2)

仮定 $|x-1| < 2$ を満たす $x$ の集合を $C$ とします。

結論 $x < 3$ を満たす $x$ の集合を $D$ とします。

命題「$|x-1| < 2$ ならば $x < 3$」が真であるためには、$C \subset D$ である必要があります。

$C = \{x | |x-1| < 2\}$

$|x-1| < 2$ は $-2 < x-1 < 2$ と同値なので、$-1 < x < 3$

$C = \{x | -1 < x < 3\}$

$D = \{x | x < 3\}$

$C$ の要素はすべて $D$ に含まれているので、$C \subset D$。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真