(1) 命題「$x<1 \implies x<2$」が偽であることを示すための反例として、(ア) $x=-3$, (イ) $x=-1$, (ウ) $x=1$, (エ) $x=3$ がそれぞれ適しているかどうかを答える。 (2) $a$を整数とする。命題「$a<x<a+4 \implies x \leq 5-2a$」が偽であり、かつ$x=3$がその反例であるとき、$a$の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 命題「$x<1 \implies x<2$」が偽であることを示すための反例として、(ア) $x=-3$, (イ) $x=-1$, (ウ) $x=1$, (エ) $x=3$ がそれぞれ適しているかどうかを答える。

(2) $a$を整数とする。命題「$a<x<a+4 \implies x \leq 5-2a$」が偽であり、かつ$x=3$がその反例であるとき、$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

命題「$x<1 \implies x<2$」が偽であるとは、$x<1$を満たすにも関わらず、$x<2$を満たさない$x$が存在することを意味します。

つまり、$x<1$ かつ $x\geq 2$ となる$x$を探します。

* (ア) $x=-3$ のとき、$x<1$ かつ $x<2$ であるため、反例ではない。

* (イ) $x=-1$ のとき、$x<1$ かつ $x<2$ であるため、反例ではない。

* (ウ) $x=1$ のとき、$x<1$ を満たさないので、反例ではない。

* (エ) $x=3$ のとき、$x<1$ を満たさないので、反例ではない。

この命題の反例となる$x$は存在しません。問題文に誤りがあるか、または別の意図がある可能性があります。一応、上記の判定に基づいて回答します。

(2)

$x=3$が命題「$a<x<a+4 \implies x \leq 5-2a$」の反例であるということは、$a<3<a+4$が成り立つにもかかわらず、$3 \leq 5-2a$が成り立たない、つまり、$3 > 5-2a$が成り立つということです。

まず、$a<3<a+4$より、

$a<3$ かつ $3<a+4$が成り立ちます。

$3<a+4$を変形すると、$a>-1$となります。

よって、$-1<a<3$となります。

次に、$3 > 5-2a$より、

$2a > 2$

$a > 1$となります。

以上より、$1 < a < 3$を満たす整数$a$を求めます。

$a$は整数なので、$a=2$となります。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) 反例ではない

(イ) 反例ではない

(ウ) 反例ではない

(エ) 反例ではない

(2)

$a=2$