画像には複数の問題があります。それぞれ以下の通りです。 (1) $(x-2)^2 = \boxed{}$ (2) $|-2|-|-5|+|7| = \boxed{}$ (3) $|1-\sqrt{5}| + |2-\sqrt{5}| = \boxed{}$ (4) $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ の分母を有理化すると $\boxed{}$ (5) $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$ の分母を有理化すると $\boxed{}$ (6) 1次不等式 $\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$ の解は $\boxed{}$ (7) 2次方程式 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ の解は $x = \boxed{}$ (8) xは実数とする。 "$x^2 = 13$" は "$x = \sqrt{13}$" であるための $\boxed{}$ (必要十分条件などを選択肢から選ぶ)

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には複数の問題があります。それぞれ以下の通りです。

(1) $(x-2)^2 = \boxed{}$

(2) $|-2|-|-5|+|7| = \boxed{}$

(3) $|1-\sqrt{5}| + |2-\sqrt{5}| = \boxed{}$

(4) $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ の分母を有理化すると $\boxed{}$

(5) $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$ の分母を有理化すると $\boxed{}$

(6) 1次不等式 $\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$ の解は $\boxed{}$

(7) 2次方程式 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ の解は $x = \boxed{}$

(8) xは実数とする。 "$x^2 = 13$" は "$x = \sqrt{13}$" であるための $\boxed{}$ (必要十分条件などを選択肢から選ぶ)

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $(x-2)^2$ の展開

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

(2) 絶対値の計算

$|-2| = 2$

$|-5| = 5$

$|7| = 7$

よって、 $|-2|-|-5|+|7| = 2 - 5 + 7 = 4$

(3) 絶対値の計算 (平方根を含む)

$\sqrt{5} \approx 2.236$ より、 $1 - \sqrt{5} < 0$ なので $|1-\sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1$

$2 - \sqrt{5} < 0$ なので $|2-\sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$

よって、 $|1-\sqrt{5}| + |2-\sqrt{5}| = (\sqrt{5} - 1) + (\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5} - 3$

(4) 分母の有理化

$\frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{1}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{3-\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$

(5) 分母の有理化

$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \times \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

(6) 1次不等式を解く

$\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$

両辺に6をかける:

$3(3x-1) > 2(2x) - 30$

$9x - 3 > 4x - 30$

$5x > -27$

$x > -\frac{27}{5}$

(7) 2次方程式を解く

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

$(2x - 1)(x + 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}, -3$

(8) 必要条件、十分条件の判定

$x^2 = 13$ ならば $x = \pm \sqrt{13}$ です。

$x = \sqrt{13}$ ならば $x^2 = 13$ です。

したがって、$x^2 = 13$ は $x = \sqrt{13}$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。なぜなら、$x = -\sqrt{13}$ の場合、$x^2 = 13$ が成り立ちますが、$x = \sqrt{13}$ は成り立たないからです。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 4$

(2) $4$

(3) $2\sqrt{5} - 3$

(4) $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

(5) $3 + 2\sqrt{2}$

(6) $x > -\frac{27}{5}$

(7) $x = \frac{1}{2}, -3$

(8) ② 必要条件であるが十分条件でない